Transformacije z matrikami

Spremenimo matriko v $[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]$

To pomeni, da zgornjo desno točko $(2, 3)$ skaliramo s faktorjem $3$ in dobimo: $[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ 9 \end{matrix}]$

Množenje matrik

Spremenimo matriko tako, da bodo vrednosti manjše od $1$ , na primer $[\begin{matrix} 0, 2 & 0 \\ 0 & 0, 2 \end{matrix}]$

To pomeni, da zgornjo desno točko $(2, 3)$ skaliramo s faktorjem $0, 2$ in dobimo: $[\begin{matrix} 0, 2 & 0 \\ 0 & 0, 2 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0, 4 \\ 0, 6 \end{matrix}]$

Množenje matrik

Gotovo si že opazil(-a) ponavljajoči se vzorec pri množenju z matriko za skaliranje.

Če želimo poljubno točko skalirati za faktor $s$ , uporabimo splošno matriko: $[\begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \end{matrix}] \times [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} s x \\ s y \end{matrix}]$

Vaja

Izberi dve ali tri točke na obliki v interaktivni simulaciji (tudi kakšno, ki vsebuje negativne vrednosti za koordinati $x$ in/ali $y$ ) in poskusi množiti z matrikami za skaliranje z različnimi faktorji ( $2$ , $3$ in $0, 2$ ). Tvoja rešitev bo pravilna, če se bo skladala s točkami na skalirani obliki.

Kaj se zgodi, če uporabimo naslednjo matriko? $[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}]$

Preprost način gledanja na matrike je, da prva vrstica določi spremenjeno vrednost $x$ tako, da pove koliko prvotni vrednosti $x$ in $y$ prispevata k novi vrednosti $x$ . V zgornji matriki to pomeni, da je nova vrednost $x$ enaka vsoti dvakratnika prvotne vrednosti $x$ in ničkratnika prvotne vrednosti $y$ , zato so vse vrednosti $x$ podvojene.

Druga vrstica določa vrednost $y$ . V zgornji matriki to pomeni, da je nova vrednost $y$ enaka vsoti ničkratnika prvotne vrednosti $x$ in štirikratnika prvotne vrednosti $y$ , zato so vse vrednost $y$ početverjene. To matriko (in njen rezultat) lahko preizkusiš v interaktivni simulaciji.

Sedaj uporabimo matriko $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ Ta matrika zrcali obliko v desno.

Nova vrednost $x$ je enaka vsoti ničkratnika prvotne vrednosti $x$ in enkratnika prvotne vrednosti $y$ in obratno za vrednost $y$ . Ta matrika zamenja vrednosti $x$ in $y$ , kar je enako, kot zrcaljenje preko premice $y = x$ .