Licenca
To delo je na voljo pod pogoji slovenske licence Creative Commons 2.5:
priznanje avtorstva - nekomercialno - deljenje pod enakimi pogoji.
Celotna licenca je na voljo na spletu na naslovu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/. V skladu s to licenco je dovoljeno vsakemu uporabniku delo razmnoževati, distribuirati, javno priobčevati, dajati v najem in tudi predelovati, vendar samo v nekomercialne namene in ob pogoju, da navede avtorja oziroma avtorje in izdajatelja tega dela. Če uporabnik delo predela, kar pomeni, da ga spremeni, preoblikuje, prevede ali uporabi to delo v svojem delu, lahko predelavo dela ponudi na voljo le pod pogoji, ki so enaki pogojem iz te licence oziroma pod enako licenco.
Transformacije z matrikami
Spremenimo matriko v $$ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} $$
To pomeni, da zgornjo desno točko $(2, 3)$ skaliramo s faktorjem $3$ in dobimo: $$ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ \end{bmatrix}$$
Spremenimo matriko tako, da bodo vrednosti manjše od $1$, na primer $$ \begin{bmatrix} 0,2 & 0 \\ 0 & 0,2 \\ \end{bmatrix} $$
To pomeni, da zgornjo desno točko $(2, 3)$ skaliramo s faktorjem $0,2$ in dobimo: $$ \begin{bmatrix} 0,2 & 0 \\ 0 & 0,2 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0,4 \\ 0,6 \\ \end{bmatrix}$$
Gotovo si že opazil(-a) ponavljajoči se vzorec pri množenju z matriko za skaliranje.
Če želimo poljubno točko skalirati za faktor $s$, uporabimo splošno matriko: $$ \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sx \\ sy \\ \end{bmatrix}$$
Vaja
Izberi dve ali tri točke na obliki v interaktivni simulaciji (tudi kakšno, ki vsebuje negativne vrednosti za koordinati $x$ in/ali $y$) in poskusi množiti z matrikami za skaliranje z različnimi faktorji ($2$, $3$ in $0,2$). Tvoja rešitev bo pravilna, če se bo skladala s točkami na skalirani obliki.
Kaj se zgodi, če uporabimo naslednjo matriko? $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} $$
Preprost način gledanja na matrike je, da prva vrstica določi spremenjeno vrednost $x$ tako, da pove koliko prvotni vrednosti $x$ in $y$ prispevata k novi vrednosti $x$. V zgornji matriki to pomeni, da je nova vrednost $x$ enaka vsoti dvakratnika prvotne vrednosti $x$ in ničkratnika prvotne vrednosti $y$, zato so vse vrednosti $x$ podvojene.
Druga vrstica določa vrednost $y$. V zgornji matriki to pomeni, da je nova vrednost $y$ enaka vsoti ničkratnika prvotne vrednosti $x$ in štirikratnika prvotne vrednosti $y$, zato so vse vrednost $y$ početverjene. To matriko (in njen rezultat) lahko preizkusiš v interaktivni simulaciji.
Sedaj uporabimo matriko $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$ Ta matrika zrcali obliko v desno.
Nova vrednost $x$ je enaka vsoti ničkratnika prvotne vrednosti $x$ in enkratnika prvotne vrednosti $y$ in obratno za vrednost $y$. Ta matrika zamenja vrednosti $x$ in $y$, kar je enako, kot zrcaljenje preko premice $y = x$.